Bag den lidt kryptiske og i nogen grad traditionsbundne overskrift gemmer sig et relativt hverdagsagtigt men også temmelig ingeniørrelevant problem. Det hele startede for nogle uger sider, da Nørdinden forsøgte at overbevise mig om at jeg skulle med til klatring1 — et koncept som jeg stadig ikke helt ved hvad jeg skal synes om…

Så indledningsvis forsøgte jeg at afværge med et modspørgsmål om hvem hun havde forestillet sig skulle sikre mit kurfyrstelige kæmpekorpus mod pludseligt og smertefuldt at adlyde tyngdekraftens kalden mens jeg desperat forsøgte at hænge fast i en klump plastic spændt fast på noget krydsfinér…

Hun mente ikke det var noget problem, idet man tilsyneladende må sikre op til halvanden gange sin egen kropsvægt (der må være noget taljeværk2 involveret), hvorefter jeg iførte mig mit måske ikke helt blankpolerede men dog forkromede øjemål og mine bedste fermibriller og kunne oplyse hende om at det var nok stadig lige på kanten.

Nu er der ingen af os der er specielt følsomme over vores hvilemasse, men det medfører så også at ingen af os er i besiddelse af en personvægt, og i stedet for at gøre noget så trivielt som at finde én vi kunne bruge, måtte vi jo udtænke en løsning — og — for sportens skyld — helst én der alene kunne afgøre spørgsmålet om jeg vejede mere eller mindre end halvanden gang så meget, uden vi behøvede bestemme vores respektive masser.

Hvordan gør man så det? Jo, nu skal I høre… Lad os alle regne…

Det mest oplagte var at forsøge at lave en slags vippearrangement med en vægtstang hvor vi kunne sidde i hver sin ende og man kunne flytte omdrejnings/understøttelsespunktet indtil vi var i balance. Så var forholdet mellem vores masser jo helt simpelt forholdet mellem de to længder vægtstang vi skulle bruge for at balancere.

Her opstod dog det praktiske problem at finde noget der var langt og stift nok3 til ikke at gå i stykker eller deformere væsentligt under belastningen, for ikke at tale om etableringen af det stabile omdrejningspunkt — vi overvejede at låne et par meter stålrør eller armeringsjern på en nærliggende byggeplads, men det sneede udenfor og så ville vi jo nok bare være endt med at bygge en snemand i stedet, hvis vi endelig fik skrabet sofaen af ryggen.

Svaret meldte sig dog spontant under en balanceakt inspireret af en diskussion om vektorer og projektioner — hvis vi nu stillede os på hinandens fødder4, holdt fast i hiandens hænder, og så lænede os bagud med rank ryg og strakte knæ indtil vi var i balance, så måtte man da kunne udlede noget af det?

Som sagt, så gjort! Det kom til at se sådan hér ud:

Som I kan se skal den mindre masse læne sig væsentlig længere bagud for at kunne udbalancere den større… Jeg har tegnet et par hjælpelinier på billedet, og selvom de blev lidt skæve burde det være relativt let at henføre de relevante størrelse til følgende skitse:

Heraf ser vi altså at hvis vi skal være i balance, så skal vores vandrette kraftkomposanter være lige store, altså har vi at \(F_L=F_W\).

Da disse kræfter er en projektion af tyngekraften, \(F_g=m\cdot g\) ind på vores hældning kan vi altså udlede ud fra almindelig trigonometri at \[\tan(\beta)=\frac{F_L}{g\cdot m_L} \wedge \tan(\alpha)=\frac{F_w}{g\cdot m_W}\] og da vi allerede ved at \(F_L=F_W\) kan vi lave lidt omskrivning og få at \[ F_L=tan(\beta)\cdot g \cdot m_L \wedge F_W=tan(\alpha)\cdot g \cdot m_W \Leftrightarrow \\ tan(\beta)\cdot g \cdot m_L = tan(\alpha)\cdot g \cdot m_W \Leftrightarrow \\ \frac{m_W}{m_L}=\frac{\tan(\beta)}{\tan(\alpha)} \] Så skal vi bare måle vinklerne, og det kan vi jo gøre i hvilket program vi nu måtte ønske — jeg har bare brugt GIMP, da jeg alligvel havde vækket den og der har jeg ved at følge hjælpelinierne fået \(\beta=27.42^{\circ} \wedge \alpha=13.66^{\circ}\). Det sætter vi bare ind i formlen og får…

Hmmm…

Så skulle jeg veje 2.13 gange så meget som hende. Det virker ikke videre sandsynligt… Godt nok er jeg et stort brød i sammenligning, meeen… Hov! Den vågne l[æø]ser vil allerede have bemærket at grundet forskel i højde og tilbagelæningsgrad, så er hendes arme cirka vandrette, men mine går nedaf — det vil altså sige at jeg også løfter hende en smule, og derved bliver min (tyngde)vektor større5, og hendes mindre. Den simplest mulige kompensation for dette må være af indføre en kompenserende kraft i regnestykket — markeret \(F_{komp}\) i den reviderede skitse:

Efter lidt yderligere fingergymnastik kan jeg få flyttet om på størrelserne sådan at det giver \[\frac{m_W\cdot(1+\tan(\gamma))}{m_L\cdot(1-\tan(\gamma))}=\frac{\tan(\beta)}{\tan(\alpha)}\] Og vi måler straks på billedet: \(\gamma=18^{\circ}\), og så er det jo bare at indføre de faktorer og gentage beregningen… og nu vejer jeg så kun 8% mere. Det er jo nok lidt vel lidt…

Nå, måske var det ikke så god en idé, som det virkede til — jeg kan umiddelbart ikke lige se at der er noget graverende galt, men nu jeg kigger på billedet og skitsen igen, så springer det jo i øjnene at vi ikke støtter på et fælles omdrejningspunkt, men hver især roterer om hælen, og der er immervæk cirka en fod imellem6, hvorved vi også projicerer noget vandret kraft ind i gulvtæppet, og denne har jeg ikke kompenseret for. Der er måske andre ting jeg ikke har tænkt over, men det er alligevel ikke HELT skidt at disse meget hurtige og improviserede beregninger spænder et sandsynligt felt ud.

Nå, men vi må altså konstatere at sandheden nok ligger et sted mellem de to opnåede resultater, og så lade det ligge ved det indtil videre — der skal vist koges lidt mere suppe på dén idé, inden den kan bruges, men nu er det meget tæt på at blive et princip at vi SKAL have et eller andet til at virke…

Jeg har dog valgt at skrive om det alligevel, selvom resultatet er “grimt” — fordi der publiceres for få negative resultater — fordi det var et stykke sjov mekanik og trigonometri, og fordi det måske kan inspirere nogen af jer derude til at finde fejl i mine antagelser, beregninger eller andet — eller endnu bedre: Prøv selv! Forbedr teknikken! Leg med virkeligheden og hinanden — og skriv om det for pokker! :-D

Kan I hygge jer og nørde godt, derude!
\Worm

  1. Hvad ER det med nørder og de mærkelige sportgrene de dyrker? Nå, men det er vel egentlig ikke så mærkeligt… ↩

  2. Altså - sådan en man hejser ting op med - ikke et stykke anatomi. ↩

  3. Jaja, tøhø… ↩

  4. Ja, det blev en lidt rodet superposition til at starte med, men tilsyneladende kan lugt også kollapse en bølgefunktion. ↩

  5. Ja, det kan jo være svært at undgå at blive en gammel gris, når man skal skrive sådan noget i ramme alvor… ↩

  6. Et af de eneste steder hvor det er okay at måle i britiske (imperial) enheder er vel når det faktisk ER fødder… ↩