Jeg har haft lyst til at skrive det her indlæg ret længe — mest fordi det handler om noget jeg ikke rigtig forstod, og så tænkte jeg at det ville være en fin måde at tvinge mig selv til at lære det på, for at kunne forklare det ordentligt.

Emnet er som sagt “dimensionsanalyse” — og det er en måde at analysere sammehænge mellem forskellige størrelser i et system, for at kunne udlede hvordan de afhænger af hinanden – og her kommer det vigtige — UDEN at man behøver kende størrelserne på forhånd eller tage på formelsafari — man kan simpelthen udlede ligninger eller størrelser der er karateristiske for systemet uden at have brug for en formelsamling, og på den måde lære noget om hvordan de forskellige størrelser påvirker hinanden.

Ja, det lyder ret abstrakt — og det er det måske også, det er netop derfor jeg har gået og ledt efter et godt eksempel, der er bare tilnærmelsesvis relevant, uden at være ALT for langhåret — det er trods alt de færreste der har brug for at regne på centrifuger1 og diffusion2 i deres hverdag.

Derfor glædede det mig meget da Henrik den første for nylig ikke bare forklarede mig hele teorien så den var til at forstå på 15 minutter, men også pegede mig i retning af bogen “Scale-up in Chemical Engineering” (2nd ed., Wiley), hvor der på side 12 er et glimrende eksempel på hvordan man kan bruge dimensionsanalyse til at vurdere stegetiden for en kalkun.

Jeg vil ikke lyve for jer — der kommer til at være en en smule formelfræs og mere fysik og matematik end man skulle tro var nødvendigt for at stege en kalkun, men jeg synes det er god nørd, så nu får I den alligevel.

Lad os alle regne…

Vi skal jo først lige have sandsynliggjort historien, så lad os — bare for eksemplets skyld — sige at vi i min familie er vant til at spise and til jul, og derfor er ret gode til at tilberede sådan en fætter, men pludselig skal til at stege en kalkun fordi der kommer mange til middag.

Sådan et dyr har vi aldrig stegt før, men hvor svært kan det være — det er jo teknisk set bare en meget stor and, der ikke kan svømme. Kan den egentlig flyve? Nå, men det kan den i hvert fald ikke længere, når den ligger på køkkenbordet!

Med ingeniører i familien der både ynder at lave mad og nørde, så kombinerer vi naturligvis disse emner, og laver en rask lille øvelse i termodynamik3.

Hvis vi kikker på sådan et stykke plumpt fjerkræ der ligger inde i ovnen, så kan vi udlede at stegetiden (t) må afhænge af overfladearealet (A) — jo større overflade den modtager varme gennem, jo hurtigere bliver den færdig — en flad minutsteak steger jo også hurtigere end en rund kødbolle (med samme masse bliver det en ret stor kødbolle!).

Varmen afsættes fra ovnrummet i overfladen af fuglen, og derfor må overfladetemperaturen (To) jo være med til af beskrive hvor hurtigt fjerkræet optager energi.

Dernæst skal vi jo have varmen ind i dyret, og hvor hurtigt dét går afhænger af kødets varmeledningsevne, altså hvor godt det er til at flytte varme igennem sig og dets varmekapacitet, der beskriver hvor meget energi det kræver at varme en given mængde op.

For at forsimple opgaven springer jeg lige nogle mellemregninger over og konstaterer at de to størrelser er med god tilnærmelse konstante og derfor kan vi slå dem sammen i den termiske diffusivitet (a), der alligevel er ret tæt på det som en almindelig køkkenskriver ville forstå ved ordet “varmeledningsevne”.

Fætteren er færdig når den er gennemvarm / gennemstegt, altså må kernetemperaturen (Tk) også være relevant at have med.

Godt så. Nu har vi følgende størrelser med følgende enheder4:

  • Stegetid, t, sekunder (s)
  • Overfladeareal, A, kvadratmeter \((m^2)\)
  • Overfladetemperaturen, To, Kelvin (K)
  • Kernetemperaturen, Tk, Kelvin (K)
  • Termisk diffusivitet, a, \(\frac{m^2}{s}\) - ja, det er en sær enhed. Stol på mig.

Nu kommer vi til den egentlige analyse — det hele er som sagt en kende langhåret5, men bare hold godt fast. 

Det baserer sig på noget der hedder Buckinghams pi-teorem, der fortæller os at hvis vi har n forskellige fysiske størrelser (her har vi n=5: {t, A, To, Tk, a}) og der i dem indgår i alt k forskellige enheder (her har vi k=3: {s, m (afledt af \(m^2\)), og K}), så kan vi lave \(p = n-k=5-3=2\) dimensionsløse størrelser der fortæller noget om systemet. 

At det er dimensionsløse størrelser vi er ude efter betyder altså at vi skal have elimineret enhederne ved at gange og dividere de forskellige fysiske størrelser med hinanden, således at enhederne går ud med hinanden6.

Det første der springer i øjnene er at hvis vi skal have temperaturerne til at gå væk, så er vi nødt til at dividere dem med hinanden, og vi får \[\Pi_1=\frac{Tk}{To}\] Så går Kelvin ud med Kelvin7 og vi er enhedsløse. 

Denne størrelse giver også meget god fysisk mening — forholdet mellem kernetemperaturen og overfladetemperaturen må på en eller anden8 måde være karakteristisk for det færdigstegte stykke fjerkræ. At man bruger \(\Pi\) til at angive/navngive størrelserne er bare en konvention. Jeg holder mig af og til til dem.

Så skal vi af med resten af størrelserne i endnu et udtryk. Det er heldigvis ikke så svært, da det hele er i de samme potenser… så vi får altså \[\Pi_2=\frac{a\cdot t}{A}\] og her kan 10 sekunder med papir og blyant også forvisse os om at vi er sluppet af med både (kvadrat)meter og sekunder.

Nå, men hvad fortæller det os så?

Jo, for hvis vi vil stege kalkunen helt ligesom anden, så skal vi have den samme temperaturfordeling, altså skal \(\Pi_1\) være uændret, og så skal vi blot holde \(\Pi_2\) konstant for at få et udtryk for stegetiden. 

Vi kan betragte a som en konstant, idet fjerkræ vel er fjerkræ9 — i hvert fald termodynamisk! Så kan vi se at for at holde \(\Pi_2\) konstant skal vi øge stegetiden, t proportionalt med overfladearealet, A — eller på matematisk\[t \propto A\] Man kunne mene at det ikke hjælper os så meget, idet enhver der har prøvet at bestemme overfladearealet af en and hhv. en kalkun ved at det ender med tårer10, meget fedtede målebånd og notatark man kan se igennem.

Heldigvis kan vi an[d]tage at anden og kalkunen har cirka samme facon og massefylde, og derfor må både overfladeareal, A og masse, m være relateret til længden, l af dyret på samme måde, og vi kan nu udlede: \[m \propto l^3 \wedge A \propto l^2 \Leftrightarrow \\ A \propto m^{\frac{2}{3}}\] hvilket vi kan indsætte i hvores proportionalitet ovenfor og få \[t \propto m^{\frac{2}{3}}\] Godt nok kender vi ikke proportionalitetsfaktoren, men det utroligt smukke er at man også få kan den til at gå væk, hvis man bare skal bruge den relative tid, så kan man nemlig dividere den ene fugl med den anden og så får man: \[ \frac{t_{kalkun}}{t_{and}}= \left(\frac{m_{kalkun}}{m_{and}}\right)^\frac{2}{3}\]

Vejer kalkunen altså 5kg og standardanden, vi baserer beregningerne på, 3kg, så skal den stege \[ \frac{t_{kalkun}}{t_{and}}= \left(\frac{5}{3}\right)^\frac{2}{3}=1.41\] gange så længe som anden.

Således. Det var noget af en omgang, men nu tror jeg nok jeg i hvert fald selv forstår det. Jeg håber jeg om ikke andet så har kunnet illustrere ideen i at man kan udlede sammenhænge og proportionaliteter uden at kende sit systems eksakte parametre. 

Hmmmm… Jeg bliver jo helt sultan… Gad vide om der er noget kold and tilbage…

\Worm 

  1. Med mindre man vil vide om det virkelig kan betale sig at købe den dyre vaskemaskine der centrifugerer ekstra hurtigt, så tøjet er tørere, men også mere krøllet, når man tager det ud… ↩

  2. Med mindre man undrer sig over at plastbøtten til paprikagryden er blevet gennemfarvet rød mens den lå i fryseren, og gerne vil vide hvor længe den har ligget… ↩

  3. At husets mere handlekraftige medlemmer nok laver maden mens vi andre diskuterer integraler og varmekapaciteter for fjerkræ er en detalje… En lækker detalje, men alligevel mindre vigtig i det store billede… :-) ↩

  4. Ja, jeg steger kalkuner i SI-enheder. Det bør du også. ↩

  5. Altså ikke kalkunen - den skal helst være plukket inden den steges - ellers lugter den værre end brændt Worm. ↩

  6. Selvom jeg er romantiker, så håber jeg ikke de forelsker sig og ender med at producere afkom - det er sådan noget rod - bare se på kemien og deres små nuttede undersyrlinger som ikke må lege med de store drenge… ↩

  7. Al termodynamisk slash/fanfic henvises til /dev/null ↩

  8. Ja, vi skal jo ikke helt glemme anden, selvom vi regner på kalkuner. ↩

  9. Jaja, det er måske en overforsimpling, men vi antager en meget fed kalkun! ↩

  10. Og vi vil jo netop gerne undgå saltvands”marinaden”… ↩