Godt nytår allesammen! Jeg håber I er kommet godt ind i det og stadig kan tælle til 1023 på fingrene.

Her i weekenden blev jeg i et quizspil udsat for spørgsmålet “Hvor længe er en flodhest drægtig?”, og selvom det lykkedes mig at vælge den rigtige mulighed ved en kombination af ekstrapolation og svineheld så fik det mig alligevel til at tænke over at der jo må være en sammenhæng mellem størrelsen af dyret og hvor længe det er om at bage afkommet færdig. Vi ved instinktivt at store dyr er drægtige længere end små dyr, men hvordan hænger det helt præcist sammen?

Efter at have forsøgt at distrahere mig selv med både det nyeste afsnit af Sherlock, samt Varm luft i Canal Grande gik det op for mig at jeg blev nødt til at undersøge det nærmere for at tilfredsstille min nørdede nysgerrighed, og selvom min google-fu er stærk, så valgte jeg alligevel at forsøge at udlede en form for svar fra tilgængelige data, så jeg satte vand over til en kold pilsner og satte i værk.

Tante wiki hjalp mig med at finde den nødvendige information - på  http://en.wikipedia.org/wiki/Gestation_period er der en fin liste over hvor længe forskellige (patte)dyr er drægtige, og endda links til de forskellige dyrs hovedartikel, ud af hvilke man hurtigt kan læse hvor store de forskellige dyr er. Jeg valgte at bruge kropsvægten som indikator for “størrelse”, da den er lettest at forholde sig til, og da der er mange dyr og arter der kan variere meget i størrelse, valgte/estimerede1 jeg nogle, efter min mening rimelige, værdier for middelværdier — usikkerheder måles alligevel bedst i træskolængder, og hvis bare man har punkter nok så burde fejlen udjævnes.2

Så efter en halv times tid med et excelark og et par besværgelser i RStudio havde jeg følgende plotsæt (klik for at forstørre):

Alle graferne viser de samme data — drægtighedsperiode i døgn, som funktion af kropsvægt i kg. Det er kun akserne der er forskel på.

Øverst til venstre er data på lineære akser (x-aksen er skåret af ved 1000 kg for at kunne se punkterne bedre — der er et par elefanter, næsehorn og en hval ude til højre for plottet) og der fremgår ikke nogen tydelig funktionssammenhæng.

Øverst til højre er x-aksen gjort logaritmisk, og nu ser det lidt ud som om der er to rette linier/funktioner — én op til ca 30 kg, og en lidt mere rodet derover, men stadig ikke én model der kan beskrive det hele.

Nederst til venstre er y-aksen logaritmisk (x-aksen er igen skåret af ved 1000 kg for at kunne se punkterne bedre — der er stadig et par elefanter, næsehorn og en hval ude til højre for plottet — det kan være de er gået i vandet sammen), og nu ser det ud som om drægtighedsperioden nærmer sig et loft asymptotisk, men det er mest et artefakt af den logaritmiske skala, og det er stadig svært at finde en simpel model der beskriver alle data.

Nederst til højre, hvor begge skalaer er logaritmiske begynder det at ligne noget. Det kunne godt være en ret linie! Jojo, der er stadig en masse støj og nogle outliers, men nu er det jo også data fra virkeligheden der er filtreret gennem wikipedia og mine estimater og samlet sammen i bersærkergang, så i anledning af at det er den bedste model vi har lige nu, lad os så se hvad det betyder at vi har en lineær sammenhæng på et dobbeltlogaritmisk plot.

Hvis vi har en lineær sammenhæng på et dobbeltlogaritmisk plot, har vi altså at \[\log(drægtighedsperiode~[døgn] = a \cdot log(vægt~[kg]) + b\] hvilket vi med lidt velvalgt fingergymnastik kan omskrive til \[\text{drægtighedsperiode [døgn]} = \text{(vægt [kg])}^a \cdot 10^b\] altså en potensfunktion ganget med en konstant. Meget vel, men hvad er potensen så?3 Og hvor god ER modellen egentlig?

Spørger vi vores trofaste ven R siger hun at potensen, a, er ca. 0.274 og at \(R^2=0,76\) hvilket med nogen forsimpling betyder at 76% af variationen i drægtighedsperiode er forklaret af variationen i vægt.

Dette er ganske acceptabelt for en model af denne art, og af de tilhørende diagnostiske plots kan vi se at residualerne er ret jævnt/tilfældigt fordelt, så der er ikke nogen grund til at tro at vi begår en systematisk fejl ved at bruge denne model — der er bare nogen uforklaret variation/usikkerhed forbundet dermed.

Plottene er medtaget herunder for fuldstændighedens skyld, men spring dem bare over, med mindre du er datanørd.

Her er det dobbeltlogaritmiske plot med den fittede linie indsat:

At drægtighedsperiode er proportional med kropsvægt opløftet til 0.274 er et lidt mystisk resultat ved første øjekast — en potens et sted imellem en tredjedel og en fjerdedel er ikke umiddelbart intuitiv, men hvis vi nu lige tænker os om, så er vægt jo bare et andet mål for rumfang4, og rumfang er jo længde i tredje potens, så en potens på en tredjedel, svarende til at uddrage den tredje rod giver jo egentlig bare “længde”.

Havde potensen været præcis en tredjedel kunne vi altså have brugt den som argumentation for at der burde være en lineær sammenhæng mellem et dyrs fysiske dimensioner og dets drægtighedsperiode, men det passer jo ikke heeeeeelt — men på den anden side så kommer dyr i mange mystiske former, så det bliver jo nok alligevel svært at blive enige om hvilken fysisk dimension man bør bruge (giraffer bliver fx hurtigt en outlier hvis man bruger “højde”).

Dette kan muligvis også forklare at vi ikke får et “pænt” tal — det er i øvrigt utroligt svært at føre en tilsvarende simpel argumentation for hvad potensen “en fjerdedel” kan fortolkes som…

Skal man lave det til en hurtig og grov tommelfingerregel så betyder det at drægtighedsperioden for et pattedyr næsten fordobles for hvert ekstra nul man sætter på kropsvægten — det burde være præcist nok til rockmusik og pubquiz.

Det føles og varsler i øvrigt ret godt at starte året med noget så overflødig, men stadig tilfredsstillende fordi-jeg-kan-nørden. Jeg håber jeres 2014 også bliver fyldt med den slags!

\Worm

  1. Videnskabeligt for “gæt”. ↩

  2. Fraregnet personligt bias, som jeg jo ikke kan sige mig fri for, da jeg havde en svag ide om hvordan det hang sammen, men jeg tror ikke jeg er helt vågen nok til at interpolere mig frem til et snyderesultat her søndag aften ↩

  3. Jaja, haha… ↩

  4. Antaget konstant massefylde, godt nok, men det er nok ikke helt urimeligt. Det er jo kun fysikere der har friktionsfri homogene sfæriske elefanter i vakuum… ↩