Vi kender det alle sammen — man sidder og hygger sig til en julefrokost, og pludselig er der nogen der finder et par raflebægre og nogle terninger frem og annoncerer at der er pakkespil. Efter et øjebliks panik lykkes det én at snige sig ud og omvikle en arbitrær dåseøl og 2 ruller á 200 biletter til endestadionen med sidste uges eksemplar af Ingeniøren, og man er klar til at deltage i fezlighederne, som om intet var hændt.

Nu melder spørgsmålet om optimering sig jo straks, idet næsten alle nørder har et talskubbergen, der tvinger dem til at prøve at gennemskue systemet og skubbe til kuverten, ikke så meget for monetær vinding1, men fordi man kan!

Givet “de sædvanlige regler”2, der indebærer at legen går i to tempi, begge af ukendt varighed; Først må man tage en gave fra puljen, hvis man slår en 6’er, og når puljen så er tom, eller klokken slår første gang, må man tage fra hinanden, hvis man slår noget andet. Når klokken slår (igen) stopper legen, og man er blevet den lykkelige indehaver af hvad der står foran én.

Er der så en vindende taktik?

Jeg skal gerne indrømme at jeg er ude i noget spilteori, hvor jeg ikke er sikker på at jeg kan bunde, men det gør det jo bare sjovere. Selv hvis mennesker opførte sig bare tilnærmelsesvist ens og forudsigeligt3, så ville jeg påstår det er umuligt at lave en generel vindende taktik i et spil der er 100% baseret på tilfældige udfald. Man er simpelthen nødt til at forholde sig til den enkelte situation i det enkelte spil man befinder sig i. Eller måske lave en stor simulering/numerisk model/???.

Lad os derfor i stedet forestille os et spil hvor der er 10 deltagere - det er vist en meget normal fordeling4 — og regne lidt på de interessante størrelser der er i spil.

Først er jeg nødt til at sige:
Nej, det bliver ikke hverken mere eller mindre sandsynligt at lige netop DU slår en 6’er uanset hvor få eller mange du eller din sidemand har slået tidligere. Hvis terningen er lige, så er sandsynligheden 1/6 - hver gang.

Men det rejser jo så spørgsmålet: Hvornår har du så ret til at råbe “korrupt” — og forlange terningen udskiftet?

Antallet af 6’ere følger en binomialfordeling, og hvis vi ser på alle terningslag rundt om bordet, så giver den første omgang altså 10 stikprøver, og dermed er sandsynligheden for antal seksere som følger:

Antal 0 1 2 3 4 5 6 7+
Sandsynlighed 16% 32% 29% 16% 5% 1.3% 0.2% <<0.1%

Hvis vi anlægger julens mildhed og godtroenhed og siger at et givent udfald skal være mindre end én procent sandsynligt for at kunne bære at beskylde værten for at snyde skal vi altså se mere end 5 6’ere i en given omgang før det er kriminelt.

Heldigvis løber sådan et spil gerne over mange omgange, så med tiden får vi en større og dermed sikrere stikprøve. Når spillet er løbet 2 omgange (20 slag) skal vi have set over 8 seksere før det er slemt, men der er stadig ca 12% sandsynlighed for at vi kun har set nul eller en enkelt. Efter tredje omgang er 0-1 sekser suspekt, og flere end 10, og udviklingen ender som følger:

Antal slag i alt Nedre suspekt Øvre suspekt
10 NA 5
20 NA 8
30 1 10
40 2 13
50 3 15
60 4 17
70 5 29
80 6 22
90 7 24
100 9 26

Hvis man bare vil have en hurtig tommelfingerregel og ikke regner med at have indtaget urimelige mængder juleøl5, så er binomialfordelingens middelværdi \(np\) og dens varians \(np(1-p)\), i dette tilfælde altså \(\frac{n\cdot5}{36}\) og et 99% konfidensinterval svarer til plus/minus cirka 2.5 standardafvigelser, og standardafvigelsen er kvadratroden af variansen.

Hvis vi udsætter det for lidt fingergymnastik og grov overforsimpling, så får vi:

Det forventede antal 6’ere: \(\frac{Antal~slag}{6} \pm 0.931 \sqrt{Antal~slag} \approx \frac{Antal~slag}{6}\pm \sqrt{Antal~slag}\)

Hermed bliver intervallet for 60 slag altså \(60\cdot\frac{1}{6} = 10 \pm \sqrt{60} = 10 \pm 7-8\) stykker — det er vist godt nok til rock for nu slet ikke at tale om julefrokoster.

Hov, nu er min taletid udløbet — det skulle jo gerne blive jul inden påske!

Men hvad er så dagens lektion?

  1. Det er svært at vide noget med sikkerhed, når man kun har en meget lille stikprøve.
  2. På et tidspunkt bliver det urimeligt svært at blive mere sikker uden en enorm stikprøve. (Jfr \(\sqrt{n}\))
  3. Tænk ikke så meget over retfærdighed og statistik under pakkespillet — hævn dig bagefter i stedet!

\Worm - Talskubber (af reserven).


  1. Jfr. overstående kommentar om gavernes natur. 

  2. Jeg har kun sjældent oplevet dem afvige, men er klar over at det kan være et semireligiøst spørgsmål i visse kredse. Ingen krænkelse er tiltænkt. 

  3. Breaking News: Det gør de ikke! 

  4. Ikke at forveksle med en normalfordeling - endnu! 

  5. Eller er i et selskab hvor det er normalt at regne på servietterne/dugen.