På vej til campus på min cykel, en alt for tidlig lørdag morgen (for at forberede UNF Odenses Sciencecamp 2013) slog det mig at geografi og vejr tilsyneladende havde rottet sig sammen for gøre turen så svær for mig som muligt - i hvert fald føltes det som om det var op ad bakke hele vejen, men det var nok bare paranoia, induceret af koffeinmangel og det faktum at klokken endnu ikke var blevet tocifret. Men det fik mig til at tænke over om det var muligt at sammenligne mod- og medvind med at køre op og ned af bakker - og ja, selvfølgelig kan man det, i hvert fald rent kvalitativt - det har jeg lige gjort, og den eneste forskel er at vinden sjældent har så jævn og konstant en hældning som landskabet. Men det må være muligt at regne på, så det vil jeg naturligvis forsøge.

Det gjorde det i øvrigt ikke på bemeldte dag — regnede altså.

Hvis vi indledningsvis skal prøve at forsimple opgaven mest muligt, så lad os betragte blæsevejr som en statisk funktion af at man bevæger sig fra et område med ét tryk til et område med et andet - modvind kommer af at man bevæger sig fra lavt tryk til højere tryk, og vinden er naturens måde at forsøge at udligne trykforskellen på. Vi ser altså bort fra coriolis og lokale geometriske og geografiske faktorer der kan påvirke vindens styrke og retning.

Ser man på DMIs vind- og frontkort kan man sjusse sig frem til at en let brise på 5-8 m/s cirka passer med at trykgradienten er 5 millibar (som i SI-enheder bør kaldes hektopascal - hPa) på tværs af Jylland, nær Grenaa (ca. 170 km), svarende til \(\frac{500Pa}{170km} \approx 3 \frac{mPa}{m}\).

Hvor svært det er at bevæge et/sit legeme imod en gas eller væske afhænger af emnets geometri, størrelse og hastighed, men hvis vi starter med at se på det som en tilstandsfunktion kan vi se bort fra hastigheden — så kan vi altid bagefter se om det er en rimelig antagelse.

Hvis vi nu antager at mit tværsnitsareal forfra er \(2m^2\) og min dybde er 0,3m ser vi at kraften på mig som følge af forskellen i tryk mellem min for- og bagside bliver:

To millinewton er så lille en kraft at det ikke er værd at bemærke — det er mindre end tyngdekraften på et riskorn, og der er jo ikke meget arbejde i at løfte sådan ét. Det er altså tydeligvis ikke den statiske trykgradient der gør det hårdt at cykle i modvind… Men hvad er det så?

Jo, det forholder sig sådan at det ikke er helt så ligetil at beskrive hvor svært det er at bevæge sig gennem et medie der gør modstand — det afhænger af en serie af faktorer, herunder hvordan éns tværsnit ser ud, hvad massefylden af mediet er og hvor hurtigt man bevæger sig.

Alt sammen ting som vi instinktivt egentlig godt ved — det er svære at løbe gennem vand end gennem luft, for eksempel. Sjovt nok er ligningerne de samme for luft/gasser og væske — der er bare nogle størrelser der opfører sig lidt anderledes. Derfor omtaler man også hele området under ét som fluid dynamik. Her er “fluid” altså en fordanskning og skal fortolkes som “noget der flyder”, snarere end “noget der er flydende”.

Nå, nok om etymologien, lad os få en ligning på bordet. Luftmodstand kan beregnes ved hjælp af den såkaldte “drag equation”, der altså ikke har noget at gøre med at iklæde sig tøj der normalt forbindes med det modsatte køn…

hvor \(F_D\) er den resulterende kraft, \(\rho\) er massefylden af mediet man bevæger sig igennem, \(v\) er hastigheden man bevæger sig med, \(C_D\) er drag-koefficienten — en enhedsløs størrelse jeg straks vender tilbage til, og \(A\) er tværsnitsarealet  af det, der bevæger sig.

Inden vi begynder at regne på det, kan vi lige så godt afskaffe kraftbegrebet og erstatte det med effekten som kræves — altså hvor mange Watt (Joule per sekund) det kræver at kæmpe sig gennem mediet — i dette tilfælde luft.

Det gør vi ved at gange kraften med hastigheden. Ved samme lejlighed kan vi ligeså godt få sat de konstante størrelser ind.

Massefylden af luft er naturligvis afhængig af tryk og temperatur, men indenfor en træskolængde kan vi godt tillade os at antage at \(\rho_{luft}=1,2 \frac{kg}{m^3}\). Mit tværsnitsareal er stadig  \(2m^2\), og ifølge Tante Wiki er drag-koefficienten for meget lidt aerodynamiske legemer, under hvilke jeg regner mig og min havelåge, \(C_D \approx 1 \).

Efter lidt fingergymnastik får vi således: hvor \(P_{luftmodstand}\)  er den effekt jeg skal yde for at overvinde luftmodstanden og \(v\) er min hastighed i \(\frac{m}{s}\).

Bare rolig — enhederne går op: \(\frac{kg \cdot m^2}{s^3}\) er faktisk det samme som Watt. Find eventuelt en nyudsprunget student der endnu ikke har glemt sin grundlæggende fysik, hvis du ikke selv gider regne efter.

Nå, men alt dette bogstavskubberi leder os altså frem til at selv ved en ganske rimelig hastighed på omkring 5 m/s, så skal jeg yde 150W for at overvinde luftmodstanden en vindstille dag, men selv ved en ret let modvind, ligeledes på 5 m/s bliver den nødvendige effekt ca. 1200W, da en fordobling af hastigheden (i forhold til luften) jo ottedobler effektbehovet.

Til gengæld bliver jeg således kun sparet for 150W, hvis jeg havde den samme vind i ryggen! En urimelig asymmetri, synes jeg…

For at sætte effekttallene i relief: En glad amatør kan efter sigende yde ca. 3W per kg kropsvægt “i flere timer” — for mit vedkommende bliver det altså omkring 270W — og elitesportsfolk har et peak-output på onkring 2000W i sprint. Der er altså ikke noget at sige til at det er hårdt at cykle i modvind!

Men… men…. hvordan opnår professionelle cykelryttere så deres vanvittigt høje hastigheder? Ja, de piller i sagens natur ved de eneste faktorer de har kontrol over, nemlig drag-koefficienten og tværsnitsarealet — hvis de eksempelvis kan få kombinationen af de faktorer (der ovenfor giver \(1,2 \frac{kg}{m}\))  ned på cirka \(0,2 \frac{kg}{m}\), svarende til et tværsnitsareal på \(0,5m^2\) og en drag-koefficient på 0,7, så skal de jo kun bruge en sjettedel af den effekt jeg skal bruge for at køre med samme hastighed, og dermed kan de køre \(\sqrt[3]{6}=1,8\) gange så hurtigt ved det samme energioutput.

Nu begynder jeg at forstå hvorfor de er så fanatiske med at være aerodynamiske og optimere både deres og cyklens tværsnitsareal…
Som et lynhurtigt sanitycheck kan man jo lige se på hvad det giver af sprinthastighed ved P=2kW:

Altså cirka 78 km/t — det lyder måske lidt højt, men husk at vi ikke har trukket rullemodstand, tranmissiontab, friktion og så videre fra, så alt i alt er det vist godt nok til rock.

Hov! Nu glemte jeg helt min op-og-ned-af-bakker-analogi, men som den vågne elev vil have opdaget, så er det ikke længere helt ligetil at sammenligne en given med- eller modvind med en bakke med en given hældning, idet man i stedet for et konstant træk eller skub fra tyngdekraften vil opleve en varierende grad af modstand som funktion af hastighed.
Hvis I selv har lyst til at lege med cykelfysik kan I jo forsøge at beregne hvor stor hastighed man når, inden kræfterne er i ligevægt hvis man tager den på frihjul ned af L’Alpe d’Huez på en gammel havelåge i ordonnansfrakke og/eller på en racer og i aerodynamisk stilling og påklædning…

\Worm